예제1) 아래의 미분방정식을 만족하는 해를 구해보자.
1. 미분방정식을 p(x)와 q(x)가 나오도록 정리
2. Integrating factor I 구하기
3. 미분방정식 양변에 I를 곱하고 정리 (I를 곱하면 좌변은 무조건 $(I(x)y)'$ 형태로 정리가 된다.)
5. 초기 조건을 이용하여 적분상수 결정
6. 미분방정식의 해 결정
Why do we deal with this subject now at all?
대학에서 배우는 과목의 교과서에는 1장이나 2장에서 앞으로 다룰 수학 기술에 대해 간단히 소개하는 경우가 많다. 예를 들어 전자기학의 첫째장은 보통 벡터 미적분학에 대한 설명이 있고 자동제어의 경우에는 라플라스 변환, 푸리에 급수 등의 설명이 실린다. 하지만 회로이론은 딱히 그렇지 않은데, 회로이론을 배우기 전에 선행학습해야 할 고등의 수학을 사용할 일이 거의 없기 때문이다. 대부분 고등학교 때 배웠고, 일부 수학 기술은 그 자체가 회로이론에서 배우고자 하는 목표이기 때문이다(라플라스 변환이 특히 그렇다). 그럼에도 회로이론을 배우기 전에 미리 알아두면 좋을 수학 분야는 아마도 미분방정식일 것이다. 미분방정식의 풀이는 RC회로나 RLC회로 등의 과도응답 분석에서 필수적이다. 다행히 전자전기공학에서 나오는 미분방정식은 그 형식이 거의 정해져 있으므로 배우기 어렵지 않을 것이다.
최고차 미분계수가 1차인 "1차 선형 상미분방정식"을 먼저 살펴보자.
예제1에서 눈여겨 볼 곳은 integrating factor $I(x)$를 구하는 곳이다. 만약 어떤 함수 $I(x)$가 있어서, 미분방정식 양변에 곱해서 $y$가 포함된 좌변을 $(I(x)y)'$ 형태로 바꿀 수 있다면 미분방정식은 $(I(x)y)'=I(x)q(x)$ 가 되고 양변 적분을 통해서 어렵지 않게 $y$를 구할 수 있을 것이란게 핵심 아이디어이다. (누가 이런 생각을 했을까?)
그럼 $I(x)$를 어떻게 구할까? 참고 삼아 알아보자.
미분 방정식의 좌변에 어떤 함수 $I(x)$를 곱해서 $(I(x)y)'$를 구하고 싶다는 것을 아래와 같이 그대로 수식으로 옮겨 쓰자.
1차 미분방정식은 Integrating factor를 곱해서 구할 수 있다는 걸 꼭 기억하자.
같은 방식으로 예제 하나만 더 풀어보는 것으로 마친다. 회로이론에서의 실제 적용예는 회로이론을 다루는 글에서 써볼까 한다.
예제2) 아래의 미분방정식을 만족하는 해를 구해보자.
1. 미분방정식을 p(x)와 q(x)가 나오도록 정리
2. Integrating factor I 구하기
3. 미분방정식 양변에 I를 곱하고 정리 (I를 곱하면 좌변은 무조건 (I(x)*y)' 형태로 정리가 된다.)
5. 초기 조건을 이용하여 적분상수 결정
6. 미분방정식의 해 결정
※ 자료 출처
James Stewart, Calculus, 5th. edition, California, Thomson Learning, 2003
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