주기 함수는 기본 주파수의 정수배가 되는 주기 함수의 무한 합이다.
푸리에 급수의 Exponential form
$$ f(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t} \quad where \quad C_{n}=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)e^{-jn\omega_0t}dt $$
푸리에 급수의 Cosine / Sine form
$$ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_0t+b_n\sin n\omega_0t) \quad where $$
$$ a_0=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)dt, \quad a_n=\frac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)\cos n\omega_0tdt, \quad b_n=\frac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)\sin n\omega_0tdt $$
푸리에 급수의 Cosine form / Sine form
$$ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}D_n\cos{(n\omega_0t+\theta_n)} \quad where $$
$$ a_0=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)dt, \quad D_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}, \quad \theta_n=\tan^{-1}\frac{-b_n}{a_n} $$
$$ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}D_n\sin{(n\omega_0t+\theta_n)} \quad where $$
$$ a_0=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)dt, \quad D_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}, \quad \theta_n=\tan^{-1}\frac{a_n}{b_n} $$
푸리에가 어떻게 이런 아이디어를 떠올렸는지는 모르겠지만, 개념 자체는 간단하다. 주기함수는 기본주파수의 정수배 주파수를 갖는 주기함수들을 무한히 더하면 만들어진다는 것이다. 하지만 개념이 간단한지는 몰라도 수식은 위와 같이 복잡한 편이고 게다가 응용 분야나 상황에 따라서 적용하는 형식도 위와 같이 다양하다. 위의 공식들만 알고 있으면 다른 과목을 공부하는데 무리가 없겠으나 공식이 나온 과정이나 기타 자세한 사항은 아래를 참고하여도 좋다.
기본 표현형식의 유도
- 주기함수는 삼각함수의 무한 급수로 표현할 수 있다.
푸리에에 의하면, 임의의 주기함수 $f(t)$는 다음과 같이 삼각함수의 무한합으로 표현 가능하다.
여기서부터 모든 논의가 시작된다고 보자.
$$ f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}D_n\cos{(n\omega_0t+\theta_n)} $$
오일러의 공식을 이용하여 다시 표현하면 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$ f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathbf{C}_ne^{jn\omega_0t} $$
여기서 $\mathbf{C}_n$는 phasor이다.
한편 위의 식은 아래와 같이 실수부 표현을 써서 나타낼 수 있다.
$$\begin{align}f(t)&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}2\mathbf{C}_ne^{jn\omega_0t}
\\&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-jb_n)[\cos{(n\omega_0t)}+j\sin{(n\omega_0t)}]
\\&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos{(n\omega_0t)}+b_n\sin{(n\omega_0t)}]
\end{align}$$
여기서 $ D_n\angle{\theta_n}=2\mathbf{C}_n=a_n-jb_n $이며, $ -jb_n $로 마이너스 부호를 쓴 이유는 이후에 $ j\sin{(n\omega_0t)} $와 곱할 때 마이너스 부호가 없어지게끔 미리 붙인 것일 뿐이다.
각 표현형식의 푸리에 계수Fourier Coefficient의 유도
- 무한 급수의 각 항은 기여도가 다르다.
이제 임의의 주기함수의 푸리에 급수를 결정하기 위해서는 푸리에 계수 즉, $a_0$, $a_n$, $b_n$등을 구하면 된다.
Exponential form의 양변에 $e^{-jk\omega_0t}$를 곱한 후 양변을 한 주기에 대해서 적분하면 아래와 같다.
$$ \int_{T_0}f(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\int_{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\mathbf{C}_n}e^{j(n-k)\omega_0t}dt $$
이 적분은 n=k인 경우 하나를 제외하고 모두 0이 된다. 왜냐하면 한 주기에 대해 적분하면 $e^{j(n-k)\omega_0t}$가 0이 되기 때문이다. n=k인 경우에 대해서 정리하면 $\mathbf{C}_n$을 얻을 수 있다.
$$\mathbf{C}_n=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}f(t)e^{-jn\omega_0t}dt$$
n=0을 대입하면 $a_0$을 얻는다.
$$a_0=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}f(t)dt$$
$ 2\mathbf{C}_n=a_n-jb_n $을 이용해서 $a_n$, $b_n$도 구할 수 있다.
$$\begin{align}\mathbf{C}_n&=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}f(t)e^{-jn\omega_0t}dt\\&=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}f(t)[\cos{(n\omega_0t)}-jsin{(n\omega_0t)}]dt\\&=\frac{1}{2}a_n-j\frac{1}{2}b_n\\\\a_n&=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}f(t)\cos{(n\omega_0t)}dt\\b_n&=\frac{2}{T_0}\int_{T_0}f(t)\sin{(n\omega_0t)}dt\end{align}$$
마지막으로 cosine form/sine form일 때의 계수 $D_n$와 $\theta_n$는 이미 $ D_n\angle{\theta_n}=a_n-jb_n $ 관계식이 있으므로 구하기 어렵지 않다. 복소수의 크기와 위상을 구하기만 하면 된다.
우함수Even Function와 기함수Odd Function, 그리고 반주기 대칭Halfwave Symmetry
- 특이하게 생긴 함수는 푸리에 계수에도 특징이 있다.
늘 그렇듯이 계산은 적을 수록 좋다. 푸리에 계수를 구하는 식은 삼각함수가 포함된 적분식이다. 피할 수 있다면 피하는게 좋다. 특히 우함수와 기함수는 함수의 대칭성 덕분에 푸리에 계수를 보통의 경우에 비해 간단하게 표현이 가능하다.
우함수는 y축을 기준으로 함수가 대칭인 것을 뜻하며, 수식으로는 아래와 같이 정의한다.
$$f(t)=f(-t)$$
그리고 푸리에 계수는 아래의 특징이 있다.
\begin{align}
\\a_0&=\frac{2}{T_0}\int_{0}^{T_0/2}{f(t)}dt
\\a_n&=\frac{4}{T_0}\int_{0}^{T_0/2}f(t)\cos{(n\omega_0t)}dt
\\b_n&=0
\end{align}
이건 수식보다는 개념으로 이해하는게 좋겠는데, 우선 y축 기준 대칭이기 때문에 적분 구간을 반으로 줄이는 대신 2배를 한 것이고, $b_n$의 경우에는 sin 함수의 계수인데 sin 함수는 기함수이므로 기여도가 0이라고 볼 수 있다.
기함수는 원점을 기준으로 함수가 대칭인 것을 뜻하며, 수식으로는 아래와 같이 정의한다.
$$f(t)=-f(-t)$$
그리고 푸리에 계수는 아래의 특징이 있다.
\begin{align}
\\a_0&=0
\\a_n&=0
\\b_n&=\frac{4}{T_0}\int_{0}^{T_0/2}f(t)\sin{(n\omega_0t)}dt
\end{align}
우함수와 반대로, $a_n$은 cos 함수의 계수인데 cos 함수가 우함수이므로 기함수를 만드는 데에는 기여도가 없다고 볼 수 있다. 그리고 원점 대칭이라 한 주기에 대해서 $a_0$는 항상 0이다.
반주기 대칭을 마지막으로 살펴 보자. 반주기 만큼 이동 후 x축 반전을 했을 때 자기 자신이 되는 대칭이다. 응용 분야에서 가끔 나오는 모양이라 익혀둘 필요가 있다.
$$f(t)=-f(t-\frac{T_0}{2})$$
그리고 푸리에 계수는 아래와 같이 $a_0$항이 0이 되고, 나머지 $a_n$, $b_n$은 odd항만 남는 특이한 경우가 된다.
$$\begin{align}
\\a_0&=0
\\a_n&=0, \quad b_n=0, \quad for \ even
\\a_n&=\frac{4}{T_0}\int_{0}^{T_0/2}f(t)\cos{(n\omega_0t)}dt, \quad b_n=\frac{4}{T_0}\int_{0}^{T_0/2}f(t)\sin{(n\omega_0t)}dt, \quad for \ odd
\end{align}$$
※ 자료 출처
J. David Irwin, R. Mark Nelms, Basic Engineering Circuit Analysis, 11th. edition, Hoboken, NJ, Wiley, 2015
'Mathematics Study' 카테고리의 다른 글
| [수학] 1차 상미분방정식 (First-order Ordinary Differential Equation) (0) | 2021.02.27 |
|---|
